容量过程建模实例

基本概念

使用机理分析法进行建模。
数学模型: 指过程在各输入量的作用下，其相应输出量变化的函数关系数学表达式。
通道: 输入量与输出量间的信号联系

自衡：对象受到干扰作用后，平衡状态被破坏，无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动平衡的倾向，逐渐地达到新的平衡状态的性质，称为平衡能力。

容量 $C$ ：存储物质和能量的能力。引起单位被控量变化时，被控过程储存量的变化量。（电容、热容、气容、液容...）

阻力 $R$ ：凡是物质和能量的转移，都要克服阻力。（电阻、热阻、气阻、流阻...）

一、单容过程

自衡

\begin{array}{r} {\begin{cases} Δ q - Δ q_{1} = C \frac{d Δ h_{1}}{d t} \\ Δ q_{1} = \frac{Δ h_{1}}{R_{1}} \end{cases} \Rightarrow Q (s) = C H_{1} (s) s + \frac{1}{R_{1}} H_{1} (s) \Rightarrow \frac{H_{1} (s)}{Q (s)} = \frac{R_{1}}{C R_{1} s + 1} \end{array}

无自衡

抽水泵

\begin{array}{r} {\begin{cases} Δ q - Δ q_{1} = C \frac{d Δ h_{1}}{d t} \\ Δ q_{1} = 0 \end{cases} \Rightarrow Q (s) = C H_{1} (s) s \Rightarrow \frac{H_{1} (s)}{Q (s)} = \frac{1}{C s} \end{array}

二、多容过程

独立

也即单容过程的简单组合

\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{H_{1} (s)}{Q (s)} = \frac{R_{1}}{C_{1} R_{1} s + 1} \\ Q_{1} (s) = \frac{H_{1} (s)}{R_{1}} \\ \frac{H_{2} (s)}{Q_{1} (s)} = \frac{R_{2}}{C_{2} R_{2} s + 1} \end{cases} \Rightarrow \frac{H_{2} (s)}{Q (s)} = \frac{H_{2} (s)}{Q_{1} (s)} \frac{Q_{1} (s)}{H_{1} (s)} \frac{H_{1} (s)}{Q (s)} \end{array}

非独立

\begin{array}{r} {\begin{cases} Δ q - Δ q_{1} = C_{1} \frac{d Δ h_{1}}{d t} \\ \frac{Δ h_{1} - Δ h_{2}}{R_{1}} = Δ q_{1} \end{cases} \Rightarrow Q (s) = Q_{1} (s) + C_{1} s H (s) Q_{1} (s) = \frac{H_{1} (s) - H_{2} (s)}{R_{1}} \end{array}

实际的例题（组合）

\begin{array}{r} {\begin{cases} Q_{1} (s) - Q_{2} (s) - Q_{12} (s) = A_{1} s H_{1} (s) \\ Q_{2} (s) = \frac{H_{1} (s)}{R_{2}} \\ Q_{12} (s) = \frac{H_{1} (s) - H_{2} (s)}{R_{12}} \\ Q_{12} (s) - Q_{3} (s) = A_{2} s H_{2} (s) \\ Q_{3} (s) = \frac{H_{2} (s)}{R_{3}} \end{cases} \Rightarrow \end{array}